李振華教授的目光,落在了第一排一位來自京城四中的少年身上。
他看到,那少年正在做第一題,一道涉及「佩爾方程」變體的數論難題。
【佩爾方程,對於初等數論的工具來說,就像一堵光滑的冰牆,常規的同餘、整除理論很難找到著力點。】
那少年顯然深諳此道。
他沒有猶豫,直接祭出了解決這類問題的經典利器——連分數理論。
筆尖在草稿紙上飛速劃過,一個個繁複的連分數展開式,如同一條條精密的邏輯鏈條,開始解析方程的內在結構。
方程中暗藏的「解的無窮性」這一陷阱,很快就顯現出來,試圖將少年的推導拖入無儘的循環之中。
但少年似乎早有預料,他冷靜地引入了「循環節」這一概念。
根據拉格朗日定理,無理數的連分數展開是無限不循環的,而二次無理數的連分數展開,則是無限循環的。他正是利用了√D的連分數展開的周期性,成功地將無窮的解,約束在了一個有限的結構之內,找到了那個最小的正整數解,即「基本解」。
最終,他通過基本解,寫下了方程的通解公式,邏輯嚴謹,步驟清晰。
【漂亮。】李振華教授心中暗讚,【這孩子的數論功底,已經有了大學優等生的水準了。】
他又將目光投向另一側,一個來自上海的女生,正在挑戰第二題——一道偽裝成圖論問題的組合計數題。
這座迷宮,更加狡猾。
它的入口,標著「圖的著色」,但其內部的核心,卻通向「生成函數」的領域。
那女生起初似乎被迷惑了,她嘗試用「容斥原理」這把重錘去強行破壁,結果發現牆壁的結構異常複雜,每砸一下,都會掉落下一堆複雜的組合數,讓問題變得更加棘手。
她很快意識到了路徑錯誤,果斷放棄,轉而開始構建遞推關係。
【方向對了,但挑戰才剛剛開始。】
李振華教授搖了搖頭。
這座迷宮的關鍵,在於如何解開那個結構複雜的遞推式。
果然,女生在求出遞推式後,便陷入了困境。
就在這時,她深吸一口氣,眼中閃過一絲決絕。
她竟將整個離散的遞推關係,巧妙地編碼成了一個冪級數!
【很大膽的思路。】
李振華教授看出來了,
她這是要用被拉普拉斯稱為「概率論的解析靈魂」的生成函數,將離散的數列問題,轉化為連續的函數問題來解決。
這是一個極其精妙的轉換,就像在不同的數學語言之間進行翻譯。
但這種「翻譯」工作,對代數變形和微積分的功底要求極高,稍有不慎,便會滿盤皆輸。
整個考場,天才們各顯神通,調用著自己知識庫中的「微積分」、「矩陣」、「伽羅瓦理論」……這些平日裡苦修的工具,與那三座迷宮進行著殊死搏鬥。
有人成功找到了迷宮的一條支路,獲得了部分分數;有人在某個陷阱中迷失了方向,在草稿紙上留下一片混亂的計算;更多的人,則是在迷宮複雜的結構麵前,遲遲無法邁出第一步。
李振華教授一路看過去,心中感慨萬千。
這就是CMO,天才與天才之間,差距依然宛如鴻溝。
……
就在這時,他走到了徐辰的身邊。
一個清秀的少年,正埋頭在草稿紙上瘋狂地書寫著什麼。
【嗯?這位學生……好像是江南隊的那個滿分狀元,徐辰?】
李振華教授對他印象很深。
閱卷組那邊,對這個「野生天才」的討論熱度極高。
他心中升起一絲期待,想看看這位傳說中的天才,會用怎樣石破天驚的思路,來破解這三座迷宮。
他悄無聲息地走到徐辰身邊,目光落在了他的試卷上。
然後,他愣住了。
試卷,是空白的。
姓名、考號寫得工工整整,但三道題的答題區,一筆未動。
【怎麼回事?放棄了?還是被題目難度鎮住了?】
李振華教授心中閃過一絲失望。
他又將目光移向徐辰的草稿紙,想看看他究竟在哪條思路上卡住了。
草稿紙上,寫滿了密密麻麻的符號和圖形。
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