0≤θ≤ 2π。
原式=∫(0到2π) dθ∫(0到R) e^(-r^2)* r dr。
= 2π*[-1/2 * e^(-r^2)](從0到R)。
=π(1 - e^(-R^2))。
五行字，清晰明了。
接著寫第二題的特徵方程法。
特徵方程 r^2 - 2r + 1 = 0，得二重根 r = 1。
齊次通解 Y =(C1 + C2*x)*e^x。
設特解 y*= x^2 *(A*x + B)* e^x。
代入原方程，解得 A = 1/6， B = 0。
通解 y = Y + y*。
沒有任何多餘的廢話，每一步都直擊核心。
陸豐拿起手機拍了張照片，原圖發送過去。
發完之後，他把手機調成靜音，扔回桌麵上。
過了五分鐘。
手機屏幕亮了起來。
陸豐瞥了一眼。
林婉：「看懂了！極坐標代換絕了！」
林婉：「那個雅可比行列式我總是忘乘，難怪每次算出來都不對。」
林婉：「特解設法也明白了，重根情況確實要乘x的平方。」
林婉：「多謝學弟救命之恩！[抱拳]」
結束聊天後，陸豐收攏心神，從書包裡抽出一疊嶄新的A4草稿紙。
腦海中，那張散發著純粹數學氣息的黑科技圖紙緩緩展開。
第一部分：哥德爾不完備定理的超限歸納法證明。
數學猜想，和之前的工程圖紙完全是兩個維度。
工程問題有實體參照，數學猜想隻有純粹的邏輯。
這玩意兒，就是在人類理性的邊界上走鋼絲。
陸豐拔下筆帽，在紙上寫下第一個形式係統的公理集合。
皮亞諾算術公理體係，這是所有自然數理論的基石。
他試圖構建一個包含所有可計算函數的超限序數體係。
將每一個數學命題映射為一個獨一無二的哥德爾數。
筆尖在紙麵上快速遊走，一排排邏輯符號躍然紙上。
半小時後，筆尖停頓。
走不通。
超限歸納法在處理自指命題時，遇到了無法跨越的基數壁壘。
當命題內容是「本命題在這個公理係統中不可證」時。
一旦引入這種不可判定命題，整個推導過程就會陷入無限倒退的邏輯死循環。
證明它為真，則係統不一致。
證明它為假，則係統不完備。
陸豐將這張寫滿的草稿紙揉成一團，扔到旁邊。
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換個思路。
嘗試用模型論的力迫法去擴展公理係統。
再次提筆，構建一個新的布爾值模型。
通過添加泛型集合，試圖在更大的宇宙中尋找一致性。
時間一分一秒流逝。
草稿紙一張接一張地鋪滿桌麵。
兩個小時過去，陸豐停下筆，揉了揉發酸的手腕。
還是不行。
力迫法雖然能擴展模型，但無法保證超限歸納步驟在極限序數處的連續性。
哥德爾數在經過無窮次疊代後，會產生無法消除的奇異點。
這簡直是個無底洞。
陸豐靠在椅背上，閉上眼。
調出係統麵板。
【當前學習值：7450】
陸豐猛地睜開眼，盯著那個數字。
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