【第9章 通往大學的高速公路】
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徐辰也沒有多問，平靜地拉過一張椅子，在陳嘉平的辦公桌對麵坐下，擰開筆帽，開始思考。
第一題：【求所有的素數p和正整數n，使得 n²+ p - 1整除 n³+ p³。】
典型的整除與不定方程結合。常規思路是利用同餘性質，模p或者模n進行試探，又或者試圖通過假設p的奇偶性來分類討論。
但這兩種方法猶如盲人摸象，不僅計算量龐大，而且極易陷入死胡同。
徐辰的筆尖在草稿紙上懸停了半秒，大腦已經開始了高速運轉。
問題的核心，在於左邊的二次式 n² 和右邊的三次式 n³ 階數不匹配，且 n 與 p 糾纏不清。想要建立整除關係，必須想辦法“降次”並“剝離變量”。
徐辰思考著：直接做多項式除法嗎？會產生分式，不夠優雅。那就……主動構造一個中間項，把 n³ 強行消掉！
這個念頭如同一道閃電，數學天賦帶給他超強的解題直覺！
他落筆了。
陳嘉平在一旁屏息凝神，他看到徐辰沒有像普通競賽生那樣去窮舉 p = 2, 3, 5，而是直接在草稿紙上寫下了一行讓他瞳孔驟縮的算式：
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n(n² + p - 1) = n³ + np - n
陳嘉平眉頭緊鎖，構造這個有什麼用？
緊接著，徐辰寫下了堪稱“神之一手”的變形！
(n³ + p³) - n(n² + p - 1) = p³ - n(p - 1)
看到這一步，陳嘉平的呼吸瞬間停滯了！
他明白了！他徹底明白了！
因為 n² + p - 1 整除 n³ + p³，而它顯然也整除 n 倍的自己。兩式相減，原先複雜的整除關係，瞬間坍縮成了：
n² + p - 1 │ p³ - n(p - 1)
這一刀，直接切斷了 n 的高次項乾擾，將一個混沌的三次方程，降維打擊成了一個關於 p 的約束分析！
一個CMO級別的難題，被這匪夷所思的一步，直接簡化成了純粹的代數討論！
徐辰的手速沒有絲毫減慢。
“若右邊為0，則 p³ = n(p - 1)。因 p 為質數，gcd(p, p - 1) = 1，故 p - 1 = 1，得 p = 2, n = 8。”
“若右邊不為0，利用絕對值不等式放縮……”
草稿紙上沙沙作響，另外兩組解 (3, 1) 和 (3, 4) 如同甕中之鱉，被精準地抓了出來。
徐辰從落筆到寫完三組答案，全程不到十分鐘。他沒有用任何晦澀的數論定理，僅僅用了一步極其精準的代數構造，就將這道國家集訓隊難度的“攔路虎”斬於馬下！
陳嘉平感覺自己的後背已經滲出了冷汗。
徐辰的天賦比他想象的還要誇張！
……
第二題：【設 a， b， c為正實數，求(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c)的最小值。】
一道看似人畜無害，實則暗藏殺機的不等式題。
此刻徐辰的內心：哦？這個有意思了。出題人在這裡挖了一個巨大的陷阱，專門坑那些隻會死記硬背公式的學生。
這個陷阱就是，很多學生會想當然地分別使用均值不等式： a+b+c≥ 3∛(abc) 1/a + 1/b + 1/c≥ 3∛(1/abc)然後將兩式相乘，得到原式≥ 9。
看似沒錯，但乘法是有風險的。這種做法的漏洞在於，它默認了兩個不等式可以同時取等。雖然這道題恰好可以，但這種解法在邏輯上是不嚴謹的。
徐辰想的沒錯，實際上這種做法在競賽中會被扣分甚至判零分。
徐辰當然不屑於走這種鋼絲。
他同樣也懶得用競賽生必備的“柯西-施瓦茨不等式”，那就像用一把精密的鑰匙開鎖，雖然高效，但不夠“暴力”，不夠“美”。
他選擇了最原始，也最能體現問題本質的方法——展開！
大道至簡，返璞歸真！
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