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"": "1. 對冪級數學介紹
簡介
冪級數
函數項級數的概念
定義1 函數列 ，
則稱為函數項級數。
定義2取 ，則成為常數項級數，
若收斂，則稱為的收斂點；
若發散，則稱為的發散點。
定義3 函數項級數的收斂點的集合稱為其收斂域，記為D。
定義4 對於任意一點，有收斂，因而有一個確定的和，該和是關於 的函數，稱為 和函數，記為S（x）。
定義5 若用 表示 的前n項的和，
則在收斂域上有記稱為的餘項，且在收斂域上有 。
冪級數
冪級數的有關概念
定義6 具有下列形式的函數項級數
（1）稱為冪級數。
冪級數
特別地，在中令即上述形式化為
（2）稱為 的冪級數。
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取為常數項級數，如收斂，其和為
取為常數項級數，如收斂，其和為
取為和函數項級數，總收斂，其和為
對冪級數主要討論兩個問題：
（1）冪級數的收斂域 （2）將函數表示成冪級數。
冪級數的收斂域具有特別的結構
定理1：（i）如 在 收斂，則對於滿足 的一切 ， 都絕對收斂；
（ii）如 在 發散，則對於滿足 的一切 ， 發散。
證：（1）∵ 收斂
∴ （收斂數列必有界）
而 為幾何級數，當 即收
∴ 收 ∴ 原級數絕對收斂
（2）反證：如存在一點 使 收
則由（1） 收，矛盾。
由證明可知冪級數的收斂域為數軸上的對稱區間，因此存在非負數R，使 收斂； 發散，稱R為收斂半徑，（-R，R）為收斂區間。
冪級數的收斂域及其求法
定理2：如冪級數 係數滿足 ，
則（1收斂區間為（-R，R）；
冪級數
；）∞＋，∞－（為間區斂收）2（
。斂收處0=x點一在僅 數級冪）3（
。域斂收得求而從，性散斂的 論討要，定確能不性散斂的 ，時當：意注
。域斂收的數級冪列下求：1例
）3（ ）2（ ）1（
， 故 ， ）1（：解
足滿，數級錯交為 為數級原 ，時 當
；斂收 ∴ ， ;t·n&
，散發 為數級原 ，時 當
為域斂收 ∴
。 為域斂收故 ∴ 於由）2（解
）3（解
。 ∴ 令
，時 當
為數級原
；散發 ∴
， 散發也數級 ，時 理同
域斂收∴
質性的數級冪
理定
：式公到化即，式形的和求可為化其將於等算運則四及分積次逐，導求項逐用利：數函和的數級冪求
