暫的時光成為牛頓科學生涯中的黃金歲月，他在自然科學領域內思潮奔騰，才華迸發，思考前人從未思考過的問題，踏進了前人沒有涉及的領域，創建了前所未有的驚人業績。
1665年初，牛頓創立級數近似法,以及把任意冪的二項式化為一個級數的規則；同年11月，創立正流數法(微分)；次年1月，用三棱鏡研究顏色理論；5月，開始研究反流數法(積分)。這一年內，牛頓開始想到研究重力問題，並想把重力理論推廣到月球的運動軌道上去。他還從開普勒定律中推導出使行星保持在它們的軌道上的力必定與它們到旋轉中心的距離平方成反比。牛頓見蘋果落地而悟出地球引力的傳說，說的也是此時發生的軼事。
總之，在家鄉居住的兩年中，牛頓以比此後任何時候更為旺盛的精力從事科學創造，並關心自然哲學問題。他的三大成就：微積分、萬有引力、光學分析的思想都是在這時孕育成形的。可以說此時的牛頓已經開始著手描繪他一生大多數科學創造的藍圖。
請到𝐨𝐨𝐩.𝐭𝐰查看完整章節
1667年複活節後不久，牛頓返回到劍橋大學，10月1日被選為三一學院的仲院侶(初級院委)，翌年3月16日獲得碩士學位，同時成為正院侶(高級院委)。1669年10月27日，巴羅為了提攜牛頓而辭去了教授之職，26歲的牛頓晉升為數學教授，並擔任盧卡斯講座的教授。巴羅為牛頓的科學生涯打通了道路，如果沒有牛頓的舅父和巴羅的幫助，牛頓這匹千裡馬可能就不會馳騁在科學的大道上。巴羅讓賢，這在科學史上一直被傳為佳話。
在牛頓的全部科學貢獻中，數學成就占有突出的地位。他數學生涯中的第一項創造性成果就是發現了二項式定理。據牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無窮算術》時，試圖修改他的求圓麵積的級數時發現這一定理的。
笛卡爾的解析幾何把描述運動的函數關係和幾何曲線相對應。牛頓在老師巴羅的指導下，在鑽研笛卡爾的解析幾何的基礎上，找到了新的出路。可以把任意時刻的速度看是在微小的時間範圍裡的速度的平均值，這就是一個微小的路程和時間間隔的比值，當這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候，就是這一點的準確值。這就是微分的概念。
求微分相當於求時間和路程關係得在某點的切線斜率。一個變速的運動物體在一定時間範圍裡走過的路程，可以看作是在微小時間間隔裡所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當於求時間和速度關係的曲線下麵的麵積。牛頓從這些基本概念出發，建立了微積分。
微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯係的數學理論的，牛頓稱之為\"流數術\"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的算法——微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關係，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。
牛頓沒有及時發表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所采取的表達形式更加合理，而且關於微積分的著作出版時間也比牛頓早。
在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期裡閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。
應該說，一門科學的創立決不是某一個人的業績，它必定是經過多少人的努力後，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎上各自獨立的建立起來的。
。”式公和冪頓牛“即，數和的冪之根程方定確數係程方用利以可出指，係關的間之式別判其與根的程方了出得他，如，果成碩豐的麵方論程方了出引，討探入深了行進質性其及根的程方對時同，程方數代為化題問類各將何如了明說例實量大用，算運本基與念概本基數代了述陳中書。用應的中題問類各決解在)程方解過通(其及礎基數代了論討要主他。》術算遍普《為名定，版出後理整經義講數代的頓牛，年7071
。域領多眾等論數等初和論率概、析分值數及涉還作工學數的他，外此。表發年4071於，》舉枚線曲次三《論專成結總果成究研多許的己自將並。法方率曲的線曲算計及式公率曲出提，念概)圓線曲稱或(圓線切密出給，心中率曲了入引中》何幾析解《的版出年6371在他。獻貢有都何幾合綜與何幾析解對頓牛
……說粒微的光了出提爾卡笛。律定射折的光了現發先首爾涅斯家學數蘭荷。界世了驚震，”宙宇新“了現發鏡遠望靠略利伽，候時的起興學科代近。一之律定學光的識認就早很們人是律定射反。象現學光過究研都人等奇芬·達、根培、子墨，前以頓牛在
。獻貢大一第是這，的成組光的色顏同不種各由是光白了現發就他，樣這。光的色顏樣同是隻的來出果結，鏡棱三個二第過通在光的色顏種一讓隻，住擋光的色顏他其把板擋的縫狹帶塊一用再頓牛，帶譜光的色顏種幾成解分，後鏡棱三過通光陽太束一。驗試散色的名著了行進來用他，鏡棱三了到得，間期假休家在頓牛，年6661。究研行進學光對情熱和趣興的大極用，樣一輩前等爾卡笛、略利伽象也，人等斯更惠、克胡的代時同多不差他跟及以頓牛
的同不有上體物在光的色顏同不是彩色的質物來原，謎之色顏的質物了開揭。象現散色了明說地確精，率射折的光色顏同不出算計且並，光白成合光色單的同不種幾把法設，現發個這證驗了為頓牛
