“有限域……射影平麵？”
簡瑤看著草稿紙上那行字，感覺自己的大腦像是被格式化了一樣，一片空白。
這兩個詞，她都聽說過。
有限域，是抽象代數裡的概念，由少年天才伽羅瓦在決鬥前夜匆匆寫下，開創了一個全新的數學紀元。
射影平麵，則是射影幾何的核心，研究的是圖形在中心投影下保持不變的性質。
這兩個東西，在各自的領域裡都如雷貫耳。
但她活了十八年，讀了無數數學專著，從未想過，有人會把這兩個看似風馬牛不相及的概念，和“拉姆齊數”這種組合圖論裡的怪物聯係在一起。
這就像是有人告訴你，可以用唐詩宋詞的平仄格律，去解決一道量子力學的薛定諤方程。
荒謬，離譜，甚至可以說是瘋狂！
“你的意思是……用代數和幾何的方法，來構造一個圖？”
簡瑤的聲音裡充滿了不確定，她感覺自己的世界觀正在被某種更強大的東西撬動，搖搖欲墜。
“更準確地說，”
許燃的筆尖，在“有限域”三個字上輕輕一點，發出清脆的“篤”聲，“是用代數，去定義‘點’，用幾何，去定義‘邊’。”
他的話，在簡瑤的腦海中轟然炸響。
她好像……抓住了一點什麼。
那是一種直覺，一種天才麵對更高維度智慧時，下意識的戰栗與共鳴。
“坐過來。”
許燃指了指自己身邊的位置，那裡剛好還有一個空位。
簡瑤的臉頰微微一熱。
她鬼使神差地，站起身，繞過桌子，真的坐到了他的旁邊。
兩人靠得很近，她甚至能聞到許燃身上那股淡淡的、好聞的肥皂味，混雜著舊書頁的墨香。
這讓她那顆因為數學而狂熱的心，莫名地多了一絲慌亂。
“你看。”
許燃沒有察覺到她的異樣，他的全部心神，都沉浸在即將構建的數學世界裡。他就是這個世界的創世神。
“我們首先，考慮一個最簡單的有限域，GF(q)。”
他開始在紙上書寫，字跡乾淨利落，“這裡的q是一個素數的冪。
在這個域裡，有q個元素，它們滿足我們熟悉的加法和乘法交換律、結合律，構成一個完美的封閉世界。”
簡瑤強迫自己靜下心來，目光緊緊跟隨著許燃的筆尖。
這些都是抽象代數的基礎，她還勉強能跟上。
“現在，我們來定義一個三維向量空間V，這個空間建立在GF(q)之上。
空間裡的每一個向量，都有三個分量(x，y，z)，而x，y，z都是GF(q)裡的元素。”
許燃的筆速不快，但每個步驟都清晰無比，帶著一種不容置疑的邏輯美感。
“這個三維空間裡，有多少個非零向量？”他突然停筆，側頭看著簡瑤，像一個考較學生的老師。
簡瑤心頭一跳，幾乎是脫口而出：“q的立方，再減去一個零向量，q3-1個。”
“很好。”
許燃讚許地點了點頭，這讓簡瑤心裡竟升起一絲小小的喜悅。
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“現在，關鍵的一步來了。
我們在這個空間裡定義一個‘等價關係’。
如果兩個向量v1和v2，存在一個GF(q)裡的非零常數c，使得v1=c*v2，我們就說這兩個向量是等價的。”
“這……”
簡瑤的眼睛猛地一亮，呼吸都急促了，“這就是在定義‘方向’！
所有共線的非零向量，都被你歸為了一類！”
“完全正確！”
許燃的眼神裡，流露出一絲棋逢對手的欣賞，“而這些等價類的集合，就是我們所說的‘射影平麵’，記作PG(2，q)。”
他抬起頭，看著簡瑤那因為激動而微微泛紅的臉頰，那雙清冷的眸子此刻亮得驚人。
“現在，你告訴我，這個射影平麵裡，有多少個‘點’？”
這個問題，像一把火炬，徹底點燃了簡瑤的思維。
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