一、對數基本概念
1.1對數的定義
對數是一種數學運算，是求冪的逆運算。若a^x=N（這裡的a稱為底數，N稱為真數。例如，2^3=8，那麼log_{2}8=3。對數能將複雜的乘方運算轉換為簡單的乘法，極大方便了計算，在數學與科學領域應用廣泛。
1.2常用對數與自然對數
常用對數是以10為底的對數，記作lg$N$。在科學計算、工程技術等領域常用，方便處理大數。自然對數則是以無理數e（約等於2.）為底的對數，記作lnN。e是自然增長和衰減過程，的重要常數，自然對數在微積分、物理學等，學科中有著重要作用。
1.3對數的基本性質
負數和零，沒有對數，這是因為在a^x=N中，若N為負數或零，則找不到符合，條件的x。對數還有諸多，基本性質，這些性質是研究對數，和解決對數問題的基石，能簡化運算，方便我們理解，和應用對數。
二、對數運算等式證明
2.1證明lgx^y=ylgx
等式lgx^y=ylgx意味著，以10為底數，x的y次方的對數，等於y乘以以10為底數x的對數。設x^y=N，則y=log_xN。根據對數的換底公式，有log_xN=lgN\/lgx，所以y=lgN\/lgx。又因為N=x^y，所以y=lgx^y\/lgx，即lgx^y=ylgx。例如，計算lg8^3，8^3=512，lg512=2.7095，lg8=0.9031，3×0.9031=2.7095，結果一致。
2.2證明lgx\/y=lgx-lgy
等式lgx\/y=lgx-lgy表示，以10為底數，x與y的商的對數，等於x的對數減去y的對數。設x\/y=N，則有x=Ny。根據對數的定義，lgx=lgyN。由對數的積運算，法則知lgyN=lgy+lgN，所以lgx=lgy+lgN，即lgN=lgx-lgy。在實際應用中，如計算lg100\/10，lg100=2，lg10=1，2-1=1，lg100\/10=1，結果相符。
2.3證明lgxy=lgx+lgy
等式lgxy=lgx+lgy的含義是，以10為底數，x與y的積的對數等於x的對數與y的對數之和。設xy=N，則有y=N\/x。由對數的定義知lgy=lg(N\/x)。根據對數的商，運算法則，lg(N\/x)=lgN-lgx，所以lgy=lgN-lgx，即lgN=lgx+lgy。在實際計算裡，計算lg20×5，lg20=1.301，lg5=0.699，1.301+0.699=2，lg20×5=2，結果正確。
三、不同對數轉換
3.1常用對數與自然對數轉換
利用此公式，將常用對數轉換為，自然對數，隻需以e為底數，公式變為lnN=\\lgN\\times\\ln10。這樣就能把以10為底，的常用對數轉化，為以e為底的自然對數，便於在需要自然對數的場合，進行計算和推導，如在微積分、物理等學科中，自然對數的應用更為廣泛，轉換後可更方便地，使用自然對數的性質和結論。
3.2換底公式的應用
在實際生活中，如測量地震震級時，就常用到換底公式，將不同底的對數轉換為便於計算和比較的形式，以準確評估，地震的強度。
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四、對數運算的應用
4.1物理學和工程學應用
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用應術技息信和學科機算計2.4
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望展與結總律規算運數對、五
結總律規算運1.5
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