一、對數函數與泰勒展開式基礎
1.1對數函數lg(x)的定義與性質以10為底的對數函數lg(x)，是指數函數的反函數。若，則x叫做以10為底N的對數，記作。其定義域為(0,正無窮)，因為的值域是(0,正無窮)，作為反函數，lg(x)的定義域便是所有正數。值域是(負無窮,正無窮)，這是由於x可以取任意實數，而總能對應一個正數N，使得。lg(x)具有對數函數的基本性質，如，，且當x＞1時，lg(x)＞0；當0＜x＜1時，lg(x)＜0。
1.2泰勒展開式的原理與意義泰勒展開式的原理是將一個在某點處具有任意階導數的函數，用該點處的各階導數值構造一個多項式函數來無限逼近原函數。具體來說，對於函數，若其在處可導，則在附近的泰勒展開式為。它在函數近似中作用顯著，可通過有限項多項式近似複雜函數，便於計算。在理論分析中，能揭示函數在某點附近的性態，如極值、凹凸性等，是數學分析和工程計算的重要工具。
二、lg(x)函數在特定點的泰勒展開式推導
2.1計算lg(x)函數各階導數要計算lg(x)函數在特定點的各階導數，首先明確。對於，其一階導數為，二階導數為，三階導數為，以此類推，其階導數為。由於是常數，lg(x)的各階導數即為各階導數除以。在處，的一階導數為，二階導數為，三階導數為，依此類推，階導數為。這些導數值將為後續的泰勒展開式推導提供必要的基礎。
2.2推導x=1處lg(x)的泰勒展開式在處推導lg(x)的泰勒展開式，依據泰勒公式。已知，即。由2.1節可知，在處的一階導數為，二階導數為，三階導數為，階導數為。將這些導數值代入泰勒公式，得。整理化簡後，即為在處的泰勒展開式。
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2.3推導x=10處lg(x)的泰勒展開式在處推導lg(x)的泰勒展開式，同樣利用泰勒公式。設，則，於是。對求導，其一階導數為，二階導數為，三階導數為，以此類推，階導數為。在處，即處，各階導數的值為、、、、。將這些值代入泰勒公式，得到。
三、lg(x)泰勒展開式的收斂性分析
3.1確定泰勒展開式的收斂半徑確定lg(x)泰勒展開式的收斂半徑，可利用比值判別法。考察lg(x)泰勒展開式的相鄰兩項之比，其中為展開式的第項係數。若，當時，級數收斂；當時，級數發散；當時，無法確定，需用其他方法判別。對於lg(x)在處的展開式，其係數，計算可得，此時需借助其他判別方法來確定其收斂半徑。
3.2分析展開式的收斂區間對於lg(x)在處的泰勒展開式，由於無法確定收斂區間，需考察級數的絕對收斂與條件收斂。當時，級數各項的絕對值單調遞增，且當時，各項的絕對值不趨於0，故此時級數發散。當時，級數各項的絕對值單調遞減，且各項的絕對值趨於0，滿足交錯級數收斂的萊布尼茨判別法，故此時級數絕對收斂。所以，lg(x)在處的泰勒展開式的收斂區間為(負無窮，1)。而在處的展開式，由於類似分析可得收斂區間為(9，11)。
3.3判斷收斂區間外的有效性及誤差在收斂區間外，lg(x)的泰勒展開式是無效的。因為當不在收斂區間內時，展開式作為無窮級數將發散，無法收斂到lg(x)的真實值。若要用展開式近似計算，此時誤差會非常大，且無法通過增加展開項數來減小誤差。要判斷誤差，可利用泰勒展開式的餘項。若展開到階，則餘項表示展開式與真實值之間的差，其大小反映了誤差的大小，可根據具體問題估計的取值範圍。
四、lg(x)泰勒展開式的應用
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