第123章 我要親自招收這兩位學生
陸正庭看著白板上的公式，愣了幾秒。 追書就上，.超讚 ,提供給你，的閱讀體驗
他隻是想問楚若然對什麼數學方向感興趣，沒想到他直接在白板上出了兩個猜想。
楚若然看出了陸正庭的遲疑，輕聲道：「陸院長，其實我對數學的各個方向都感興趣。我都想研究。」
陸正庭聽完，微微一笑：「沒有人可以做到涉獵廣泛並精通。做學問，總得先挖一個坑再往下掘。」
楚若然指了指餘南汐，也微笑道：「我和她是可以不斷挖坑並深入發掘的人，一個坑對我們來說太少了。」
這話一出，一旁的季誌遠愣了愣。
不斷挖坑？
你這孩子，怎麼在菲爾茲獎得主麵前大放厥詞？
不過比起季誌遠的愣神，陸正庭倒是目光帶著幾分深意的看向楚若然：「你能說出這話來我很欣慰。優秀的數學家從不止步於眼前的成就。」
「那我們就不聊方向了，聊聊能力。」
他抬起手擦掉黑板上的筆跡，重新寫下一行公式：△u+入u=0
「我們從最基礎的偏微分方程聊起。這是一條拉普拉斯方程，假設在有限區域內，邊界條件為零，入為常數，談談你們對解的存在性有什麼看法。」
季誌遠在一旁看著，眉頭微微挑起。
這是一道很開放的題。嚴格意義上來講，它甚至算不上題，更像是一個門檻。
他立刻意識到陸正庭是想考察兩個孩子的思維方式。
楚若然拿起白板筆稍作思索，隨後走上前在空白處寫下幾個小字：分離變量法。
「如果入=0，可以視為調和函數問題。對二維情況，若Ω為有界區域，可展開為傅立葉級數，得到滿足Dirichleti邊界條件的唯一解。」
陸正庭點頭：「那若λ>0呢？」
楚若然：「那就轉化為He Imholtz方程。若邊界仍為零，可以利用特徵函數展開法，解為一組正交特徵函數的線性組合。不過在高維下，特徵值的分布規律——目前還沒有解析式。」
陸正庭微微眯眼。
分離變量、特徵函數、邊界條件、特徵值分布，全部提到了。
他又看向一旁的餘南汐：「同學，有什麼補充？」
「唔，若入取複數，解就不再局限於實空間，可以考慮解析延拓。這時候調和函數解集的性質和黎曼？函數的解析延拓形式有一點相似。」
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「嗯。
陸正庭沉吟片刻，又抬手寫下一行新的公式：u/Ot=△u
他側過身，看向兩個人：「假設區域Ω有界，邊界條件齊次，初始函數在C空間中。
請說說你們認為這種方程的解，在時間t上的連續性與唯一性如何？」
楚若然思考幾秒：「若係數常數且域有界，可利用特徵展開法。解可表示為u（，t）=∑Ane^（—入mt）中n（）+——，其中入n為Laplace算子的特徵值，中.為正交基函數。由於入>0，係數指數衰減，解在t上連續且唯一。」
陸正庭點頭：「那如果係數不恆定呢？」
餘南汐軟聲接道：「唔...若△替換為橢圓型算子div（a（）7u），隻要a（）在區域內正定且連續，就仍然可以證明弱解存在。可以通過能量估計與Poincare不等式得到∥u（t）∥隨時間單調不增，從而保證解的穩定性與唯一性。」
「很好。」陸正庭目光微亮。
他又寫下一條式子：2u/t2+△u=0
「換個類型。這個方程的基本解性質與前一個有何不同？」
楚若然：「前者是典型的拋物型算子，解隨時間平滑化；這一條則為雙曲型算子，平滑性不增強，隻保持連續。形式解可寫作u（，t）=ΣAcos（√入t）+——」
餘南汐在旁輕聲補充：「唔，若算子△改為一般橢圓型L=—div（A7u幢+q（）u，則譜為正定離散。」
陸正庭：「那我繼續。」
L（u）=div（a（）Vu）+b（）.Vu+c（）u=f（）
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