【事實上，這確實是一個數學上的問題。早在1882年，物理學家Arthur Schuster就問過一嘴：能不能從振動譜反推物體的形狀？
而更出名的是馬克·卡茨在論文裡扔出來的那個問題：“Can One Hear the Shape of a Drum?”翻譯過來就是，“你能聽出一麵鼓的形狀嗎？”
你可能會納悶，這倆說的難道不是一回事？大錯特錯了。
Arthur Schuster問得太寬了，什麼都想包進去。而馬克·卡茨把問題收窄了，隻問二維鼓麵。
因為1966年John Milnor先在16維流形上證明了“聽不出來”，至於二維鼓麵，又拖了二十八年，直到1992年才被人徹底推翻。】
屏幕上冒出一堆幾何圖形，方的圓的扭成麻花的，層層疊疊攪在一起，看得人眼花。
【你可能好奇了，16維流形是個啥？我簡單捋一捋。
首先，流形這東西，指的是在每一個小局部看起來都挺“平直普通”的，但整體上可以彎、可以扭、可以首尾接起來變成一個閉合的空間。
1維流形，局部看就是一條直線；整體上呢，可以是個圓，可以是個扭結，繞來繞去。
2維流形，也就是曲麵，局部看就是平平的一片；整體上可以是球麵、甜甜圈麵、馬鞍麵。咱們腳踩在地上覺得地麵是平的，其實地球是個球，這就是2維流形。
3維流形，局部看就是咱們天天待著的三維空間；整體上可能是彎的，可能是有限大但又沒邊界的，像個宇宙。
那16維流形呢？就是一個16維的“彎曲空間”，每一小塊局部上，看起來就跟普通的16維歐幾裡得空間一樣規規矩矩，但整體形狀可以扭得你親媽都不認識，甚至首尾相接把自己封閉起來。】
屏幕上的奶龍打了個響指，慢慢悠悠開口。
【很顯然，答案已經有了。現實裡不可能蹦出一個夜魔俠，因為我們壓根沒法單憑聲音就確定一個物體的唯一形狀。
可能有小夥伴想不通了，16維流形看著花裡胡哨一團亂麻，憑啥比二維鼓麵先被搞定？
道理其實很簡單：16維流形就像給你16塊積木，限製條件少，你隨便扒拉扒拉，總能拚出兩個形狀不一樣但從某個角度看過去完全一樣的玩意兒來。
二維流形就不行了，條條框框卡得死。你一聽它的譜，麵積多大，周長多長，有沒有洞，連通性怎麼樣，曲率怎麼分佈，嘩嘩全給你報出來。
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要在這些參數全一樣的前提下，找出兩個真正長得不一樣的形狀，那可太難了。
1992年，Carolyn Gordon、David Webb和Scott Wolpert甩出了一篇論文，《One Cannot Hear the Shape of a Drum》，翻譯過來就是“一個人不能聽出鼓的形狀”。
針對1966年Mark Kac那個經典問題——光靠鼓麵振動產生的聲波頻率，也就是拉普拉斯運算元的特徵值，能不能唯一確定鼓麵的幾何形狀——給出了決定性的回答。
論文沒用啥花裡胡哨的分析工具，就是通過平麵多邊形的對稱拚接與置換構造，設計出一對邊界走向、整體輪廓明顯不同的簡單連通多邊形區域，兩者在狄利克雷邊界條件下的特徵值序列完全一緻，也就是等譜但不全等。
作者利用區域分解與反射對稱技巧，證明了兩個區域的振動模式隻是在內部被重新排列了一下，頻率分佈壓根沒變。從而徹底證實了：不同形狀的鼓，完全可以發出完全相同的頻譜。
這一構造直接把“頻譜能唯一確定形狀”的猜想幹趴下了。
它清楚地表明，雖然麵積、虧格這些幾何信息能從頻譜裡扒出來，但完整的幾何形態，光靠聲波是還原不了的，懸了二十六年的核心問題，至此塵埃落定。】
屏幕上的奶龍擺了擺手。
【知道你們沒聽懂，其實我也是。
簡單來講，各位大學牲們學過線性代數吧？
特徵值被稱為矩陣的DNA，決定了它好多關鍵性質。
但我們又知道，相似矩陣的特徵值是一模一樣的，儘管它們壓根不是同一個矩陣。
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