原函數f(x)與x$軸的兩個交點的橫坐標。”
“還有呢?”江臨突然追問。
還有嗎?
萬萬沒想到還會有此一問的蔣瑤一時沒有接上話。
不過她的大腦還是飛速轉動,試圖從高三這一年來老師讓我們反複背誦的知識點、考綱、題型歸納裡,搜刮出任何與零點相關的隱藏線索。
是零點存在性定理?
是洛必達法則的使用前提?
還是導數變號的臨界點?
如果是平時在教室裡,那些學神或者講台上的老師看到她卡殼,這個時候大概率會給個提示,或者乾脆順著思路把答案引出來。
但江臨沒有。
他坐在那裡,雙手很自然地交握放在桌麵上,姿態非常放鬆,像一棵紮根在戈壁上的老胡楊。
不催促,不搶答,甚至連眼神都沒有遊移,隻是安靜地等著她自己把那層窗戶紙捅破。
這種突如其來的平靜,反而給蔣瑤帶來了一股無形的壓迫感,讓她意識到自己不能再用那些平時敷衍老師的套話和機械的記憶來糊弄過去。
時間一分一秒地過去,桌上的鬨鐘滴答滴答地走著。
足足過了兩分鐘,直到江臨確信蔣瑤在這個節點上確實沒有建立起底層的邏輯映射後,他才重新拿起筆,在草稿紙上,將原函數工工整整地寫了下來。
f(x)=xlnx+x^2+1-ax。
然後在下麵寫下方程:f(x)=0。
“既然第一問你已經用了分離參數法,”江臨用筆尖點了點那個方程,“那麼現在,在這個等式裡,把a重新表示出來。”
蔣瑤在代數變形這一步當然沒問題,馬上接過江臨手裡的筆,在旁邊快速地寫下:
xlnx+x^2+1-ax=0。
因為x>0,所以:a=lnx+x+1/x。
寫到這裡,她停下了筆,抬頭,用帶著不確定的目光去看江臨。
江臨沒有說話,隻是靜靜地看著她寫出的式子,鼓勵她繼續往下想。
蔣瑤被他看得不由得有些心虛起來,她看著自己寫下的式子,腦子裡突然閃過第一問裡自己定義的那個函數,輕聲試探著說。
“這個右邊的式子,不就是第一問裡的g(x)嗎?所以條件說f(x)有兩個零點x_1、x_2,實際上就是說,方程g(x)= a有兩個不同的實數根,而且這兩個根就是x_1和x_2?”
聽到這句話,江臨終於點了點頭。
拿過筆在紙上寫:g(x)=lnx+x+1/x。
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緊接著,他在這個函數的下方,畫了一個直角坐標係,在坐標係裡畫了一條簡略的函數曲線。
用極其流暢的線條,從y軸右側的上方落下來,然後在第一象限的中間位置壓出一個穀底,隨後線條又平滑地往右上方抬起。
這就是一個典型的像對鉤一樣的非對稱U型曲線。
畫完曲線,他用筆在曲線的下方畫了一條水平的直線y = a。
這條水平線像是一把刀,攔腰切過了那條U型曲線。
筆尖在直線與曲線左邊的交點處輕輕點了一下。
“這個點對應的橫坐標,是左邊較小的那個根,x_1。”
隨後,筆尖又平移到右邊的交點處,點了一下。
“這個,是右邊較大的那個根,x_2。”
江臨放下筆,看著蔣瑤的眼睛,說出了一句直擊靈魂的話:“所以,你看,這道題的第二問,表麵上是在問原函數f(x)的兩個零點,實際上,但實際上,它是在研究這條水平線y=a和曲線y=g(x)的兩個交點的橫坐標性質。”
蔣瑤愣了愣,呆呆地看著草稿紙上那條極其簡單的曲線和那條水平線。
她昨晚看手機上的解析時,第一行明明還是f(x),各種求導求得飛起。
第二行就突然跳到了某個複雜的構造式F(x)=g(x) - g(1/x),中間仿佛出現了一道無法跨越的斷層。
而現在,江臨僅僅用了一個初中生都能看懂的交點圖,就把原本藏在迷霧裡的兩個變量,清清楚楚地釘在了坐標軸上。
她能直觀地看到x_1在穀底的左邊,而x_2在穀底的右邊。
江臨沒有給她太多回味的時間,他用筆尖點了點題目第二問最後要求證明的結論。
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