的餘數等於（3+4）除以5的餘數。
（5）a與b的乘積除以c的餘數，等於a，b分別除以c的餘數之積（或這個積除以c的餘數）。例如，23，16除以5的餘數分別是3和1，所以（23×16）除以5的餘數等於3×1=3。注意：當餘數之積大於除數時，所求餘數等於餘數之積再除以c的餘數。例如，23，19除以5的餘數分別是3和4，所以（23×19）除以5的餘數等於（3×4）除以5的餘數。
性質（4）（5）都可以推廣到多個自然數的情形。
例題
例15120除以一個兩位數得到的餘數是64，求這個兩位數。
分析與解：
由性質（2）知，除數×商=被除數-餘數。
5120-64=5056，
5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數，得到
5056=64×79。
由性質（1）知，除數應大於64，再由除數是兩位數，得到除數在67～99之間，
符合題意的5056的約數隻有79，所以這個兩位數是79。
例2被除數、除數、商與餘數之和是2143，已知商是33，餘數是52，求被除數和除數。
解：因為被除數=除數×商+餘數=除數×33+52，
被除數=2143-除數-商-餘數=2143-除數-33-52=2058-除數，
所以除數×33+52=2058-除數，所以除數=（2058-52）÷34=59，
被除數=2058-59=1999。
答：被除數是1999，除數是59。
例3甲、乙兩數的和是1088，甲數除以乙數商11餘32，求甲、乙兩數。
解：因為甲=乙×11+32，
所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
所以乙=（1088-32）÷12=88，
甲=1088-乙=1000。
答：甲數是1000，乙數是88。
例4有一個整數，用它去除70，110，160得到的三個餘數之和是50。求這個數。
分析與解：先由題目條件，求出這個數的大致範圍。因為50÷3=16……2，所以三個餘數中至少有一個大於16，推知除數大於16。由三個餘數之和是50知，除數不應大於70，所以除數在17～70之間。
由題意知（70+110+160）-50=290應能被這個數整除。將290分解質因數，得到290=2×5×29，290在17～70之間的約數有29和58。
因為110÷58=1……52>50，所以58不合題意。所求整數是29。
例5求478×296×351除以17的餘數。
分析與解：先求出乘積再求餘數，計算量較大。根據性質（5），可先分別計算出各因數除以17的餘數，再求餘數之積除以17的餘數。
478，296，351除以17的餘數分別為2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
所求餘數是1。
例6甲、乙兩個代表團乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩代表團坐滿若乾輛車後，甲代表團餘下的11人與乙代表團餘下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠卷可拍36張照片，那麼拍完最後一張照片後，相機裡的膠卷還可拍幾張照片？
分析與解：甲代表團坐滿若乾輛車後餘11人，說明甲代表團的人數（簡稱甲數）除以36餘11；兩代表團餘下的人正好坐滿一輛車，說明乙代表團餘36-11=25（人），即乙代表團的人數（簡稱乙數）除以36餘25；甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片，共要拍“甲數×乙數”張照片，因為每個膠卷拍36張，所以最後一個膠卷拍的張數，等於“甲數×乙數”除以36的餘數。
因為甲數除以36餘11，乙數除以36餘25，所以“甲數×乙數”除以36的餘數等於11×25除以36的餘數。
（11×25）÷36=7……23，
即最後一個膠卷拍了23張，還可拍36-23=13（張）。
由例6看出，將實際問題轉化為我們熟悉的數學問題，有助於我們思考解題。
例75397被一個質數除，所得餘數是15.求這個質數.
解：這個質數能整除
5397-15=5382，
而5382=2×31997×13×23.
因為除數要比餘數15大，除數又是質數，所以它隻能是23.
當被除數較大時，求餘數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得到餘數.
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