結論：
甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個餘數，那麼甲、乙兩數之和被這個除數除，它的餘數就是兩個餘數之和被這個除數除所得的餘數。
例如，57被13除餘5，152被13除餘9，那麼57+152=209被13除，餘數是5+9=14被13除的餘數1.
例10有一串數排成一行，其中第一個數是15，第二個數是40，從第三個數起，每個數恰好是前麵兩個數的和，問這串數中，第1998個數被3除的餘數是多少？
解：我們可以按照題目的條件把這串數寫出來，再看每一個數被3除的餘數有什麼規律，但這樣做太麻煩。根據上麵說到的結論，可以采取下麵的做法，從第三個數起，把前兩個數被3除所得的餘數相加，然後除以3，就得到這個數被3除的餘數，這樣就很容易算出前十個數被3除的餘數，列表如下：
從表中可以看出，第九、第十兩數被3除的餘數與第一、第二兩個數被3除的餘數相同。因此這一串數被3除的餘數，每八個循環一次，因為
1998=8×249+6，
所以，第1998個數被3除的餘數，應與第六個數被3除的餘數一樣，也就是2.
一些有規律的數，常常會循環地出現.我們的計算方法，就是循環製.計算鐘點是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
這十二個數構成一個循環。
按照七天一輪計算天數是
日，一，二，三，四，五，六.這也是一個循環，相當於一些連續自然數被7除的餘數
0，1，2，3，4，5，6的循環，用循環製計算時間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發現循環現象.用數來反映循環現象也是很自然的事。
循環現象，我們還稱作具有“周期性”，12個數的循環，就說周期是12，7個數的循環，就說周期是7.例10中餘數的周期是8。研究數的循環，發現周期性和確定周期，是很有趣的事。
下麵我們再舉出兩個餘數出現循環現象的例子。在講述例題之前，再講一個從帶餘除式得出的結論：
甲、乙兩數被同一除數來除，得到兩個餘數.那麼甲、乙兩數的積被這個除數除，它的餘數就是兩個餘數的積，被這個除數除所得的餘數.
例如，37被11除餘4，27被11除餘5，37×27=999被11除的餘數是4×5=20被11除後的餘數9。
1997=7×285+2，就知道1997×1997被7除的餘數是2×2=4.
例11191997被7除餘幾？
解：從上麵的結論知道，191997被7除的餘數與21997被7除的餘數相同.我們隻要考慮一些2的連乘，被7除的餘數.
先寫出一列數
2，2×2=4，2×2×2=8，
2×2×2×2=16，….
然後逐個用7去除，列一張表，看看有什麼規律。列表如下：
事實上，隻要用前一個數被7除的餘數，乘以2，再被7除，就可以得到後一個數被7除的餘數.（為什麼？請想一想.）
從表中可以看出，第四個數與第一個數的餘數相同，都是2.根據上麵對餘數的計算，就知道，第五個數與第二個數餘數相同，……因此，餘數是每隔3個數循環一輪。循環的周期是3。
1997=3×665+2
【𝗼𝗼𝗽.𝘁𝘄 無錯章節】
就知道21997被7除的餘數，與21997被7除的餘數相同，這個餘數是4。
再看一個稍複雜的例子。
例1270個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍都恰好等於它兩邊兩個數的和.這一行最左邊的幾個數是這樣的：
0，1，3，8，21，55，….
問：最右邊一個數（第70個數）被6除餘幾？
解：首先要注意到，從第三個數起，每一個數都恰好等於前一個數的3倍減去再前一個數：
3=1×3-0，
8=3×3-1，
21=8×3-3，
55=21×3-8，
……
不過，真的要一個一個地算下去，然後逐個被6去除，那就太麻煩了。能否從前麵的餘數，算出後麵的餘數呢？能！同算出這一行數的辦法一樣（為什麼？），從第三個數起，餘數的計算辦法如下：
將前一個數的餘數乘3，減去再前一個數的餘數，然後被6除，所得餘數即是.
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：有數的2餘3以除：解
.…32，02，71，41，11，8，5，2
：是數餘的21以除們它
.…，11，8，5，2，11，8，5，2
：有數的1餘4以除
.…，92，52，12，71，31，9，5，1
：是數餘的21以除們它
.…，9，5，1，9，5，1
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