或者i與k都是腳標] ，則N是一個素數。
（五）可以把（1）等價轉換成為用同餘式組表示：
N≡a1(m·dp1)， N≡a2(m·dp2)，.....，N≡ak(m·dpk)。 (2)
例如，29，29不能夠被根號29以下的任何素數2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(m·d2)，29≡2(m·d3)， 29≡4(m·d5)。29小於7的平方49，所以29是一個素數。
以後平方用\"*\"表示，即：㎡=m*。
由於（2）的模p1，p2，....，pk 兩兩互素，根據孫子定理(中國剩餘定理）知，（2）在p1p2.....pk範圍內有唯一解。
例如k=1時，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）區間的全部素數。
k=2時，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）區間的全部素數。
k=3時,
---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|
---------------------|---------|----------|--------|---------|
n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----|
n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|
------------------------------------------------------------
求得了（7，7*）區間的全部素數。仿此下去可以求得任意大的數以內的全部素數。上圖是文章出處。
自古以來，數學家對於整數性質的研究一直十分重視，但是直到十九世紀，這些研究成果還隻是孤立地記載在各個時期的算術著作中，也就是說還沒有形成完整統一的學科。
古希臘數學家--歐幾裡得
自我國古代，許多著名的數學著作中都關於數論內容的論述，比如求最大公因數、勾股數組、某些不定方程整數解的問題等等。在國外，古希臘時代的數學家對於數論中一個最基本的問題--整除性問題就有係統的研究，關於質數、合數、約數、倍數等一係列概念也已經被提出來應用了。後來的各個時代的數學家也都對整數性質的研究做出過重大的貢獻，使數論的基本理論逐步得到完善。
在整數性質的研究中，人們發現質數是構成正整數的基本\"材料\"，要深入研究整數的性質就必須研究質數的性質。因此關於質數性質的有關問題，一直受到數學家的關注。可以認為， 質數是整個數論的研究基石。
到了十八世紀末，曆代數學家積累的關於整數性質零散的知識已經十分豐富了，但是仍然沒有找到素數產生的模式。德國數學家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術研究》，1800年寄給了法國科學院，但是法國科學院拒絕了高斯的這部傑作，高斯隻好在1801年自己發表了這部著作。這部書開始了現代數論的新紀元。 在《算術研究》中，高斯把過去研究整數性質所用的符號標準化了，把當時現存的定理係統化並進行了推廣，把要研究的問題和已知的方法進行了分類，還引進了新的方法。 高斯在這一著作中主要提出了同餘理論， 並發現了著名的二次互反律， 被其譽之為\"數論之酵母\"。
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黎曼在研究ζ函數時，發現了複變函數的解析性質和素數分布之間的深刻聯係， 由此將數論領進了分析的領域。這方麵主要的代表人物還有英國著名數論學家哈代 、李特伍德、拉馬努金等等。在國內，則有華羅庚、陳景潤、王元等等。
另一方麵， 由於此前人們一直關注費馬大定理的證明， 所以又發展出了代數數論的研究課題。 比如庫莫提出了理想數的概念--可惜他當時忽略了代數擴環的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了複整數環的理論--即高斯整數。他在3次情形的費馬猜想中也用了擴環的代數數論性質。 代數數論發展的一個裡程碑，則是希爾伯特的《數論報告》。
隨著數學工具的不斷深化， 數論開始和代數幾何深刻聯係起來， 最終發展稱為當今最深刻的數學理論，諸如算術代數幾何， 它們將許多此前的研究方法和研究觀點最終統一起來， 從更加高的觀點出發，進行研究和探討。
由於近代計算機科學和應用數學的發展，數論得到了廣泛的應用。比如在計算方法、代數編碼、組合論等方麵都廣泛使用了初等數論範圍內的許多研究成果；又文獻報道，現在有些國家應用\"孫子定理\"來進行測距，用原根和指數來計算離散傅立葉變換等。此外，數論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方麵得到了應用。特別是現在由於計算機的發展，用離散量的計算去逼近連續量而達到所要求的精度已成為可能。
係關率周圓與數素
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數質
式形的數質
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想猜赫巴德哥與潤景陳
潤景陳
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