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力學係統由一組坐標來描述。比如一個質點的運動（在笛卡爾坐
拉格朗日力學
標係中）由x，y，z三個坐標來描述。一般的，N個質點組成的力學係統由3N個坐標來描述。力學係統中常常存在著各種約束，使得這3N個坐標並不都是獨立的。力學係統的獨立坐標的個數稱之為自由度。對於N個質點組成的力學係統，若存在m個約束，則係統的自由度為
S = 3N ? m
在矢量力學中，約束的存在體現於作用於係統的約束力。約束力引入額外的未知量，通常使問題變得更為複雜。但若能選取適當的s個完全滿足約束條件的獨立坐標，則約束不再出現在問題中，隻需要求解關於s個未知變量的方程，使問題得以大大簡化。這樣的s個坐標不再局限於各質點的位置坐標，而可以是任何能描述係統的幾何參量，因此稱為\"廣義坐標\"。
哈密爾頓量H可以通過對拉格朗日量進行勒讓德變換得到。哈密爾頓量是經典力學的另一種表述哈密爾頓力學的基礎。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標可能值組成的組態空間的切叢上的函數，而哈密爾頓量是相對應的餘切叢上的函數。哈密爾頓量在量子力學中到處出現（參看哈密爾頓量 (量子力學)）。
1948年, 費曼發明了路徑積分表述，將最小作用原理擴展到量子力學。在該表述中，粒子穿過所有可能的始態和終態的所有路徑；特定終態的概率是所有可能導向它的軌跡的概率之和。在經典力學的範圍，路徑積分表述簡單的退化為哈密爾頓原理。
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簡介
拉格朗日1736年1月25日生於意大利西北部的都靈。父親是法國陸軍騎
拉格朗日力學
兵裡的一名軍官，後由於經商破產，家道中落。據拉格朗日本人回憶，如果幼年是家境富裕，他也就不會作數學研究了，因為父親一心想把他培養成為一名律師。拉格朗日個人卻對法律毫無興趣。
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到了青年時代，在數學家雷維裡的教導下，拉格朗日喜愛上了幾何學。17歲時，他讀了英國天文學家哈雷的介紹牛頓微積分成就的短文《論分析方法的優點》後，感覺到\"分析才是自己最熱愛的學科\"，從此他迷上了數學分析，開始專攻當時迅速發展的數學分析。
18歲時，拉格朗日用意大利語寫了第一篇論文，是用牛頓二項式定理處理兩函數乘積的高階微商，他又將論文用拉丁語寫出寄給了當時在柏林科學院任職的數學家歐拉。不久後，他獲知這一成果早在半個世紀前就被萊布尼茲取得了。這個並不幸運的開端並未使拉格朗日灰心，相反，更堅定了他投身數學分析領域的信心。
拉格朗日
1755年拉格朗日19歲時，在探討數學難題\"等周問題\"的過程中，他以歐拉的思路和結果為依據，用純分析的方法求變分極值。第一篇論文\"極大和極小的方法研究\"，發展了歐拉所開創的變分法，為變分法奠定了理論基礎。變分法的創立，使拉格朗日在都靈聲名大震，並使他在19歲時就當上了都靈皇家炮兵學校的教授，成為當時歐洲公認的第一流數學家。1756年，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學院通訊院士。
1764年，法國科學院懸賞征文，要求用萬有引力解釋月球天平動問題，他的研究獲獎。接著又成功地運用微分方程理論和近似解法研究了科學院提出的一個複雜的六體問題(木星的四個衛星的運動問題)，為此又一次於1766年獲獎。
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