林科學院兩篇著名的論文：《關於解數值方程》和《關於方程的代數解法的研究》。把前人解三、四次代數方程的各種解法，總結為一套標準方法，即把方程化為低一次的方程(稱輔助方程或預解式)以求解。
他試圖尋找五次方程的預解函數，希望這個函數是低於五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊含著置換群概念，對後來阿貝爾和伽羅華起到啟發性作用，最終解決了高於四次的一般方程為何不能用代數方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅。
拉格朗日力學
在數論方麵，拉格朗日也顯示出非凡的才能。他對費馬提出的許多問題作出了解答。如，一個正整數是不多於4個平方數的和的問題等等，他還證明了圓周率的無理性。這些研究成果豐富了數論的內容。
在《解析函數論》以及他早在1772年的一篇論文中，在為微積分奠定理論基礎方麵作了獨特的嘗試，他企圖把微分運算歸結為代數運算，從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，並想由此出發建立全部分析學。但是由於他沒有考慮到無窮級數的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，其實隻是回避了極限概念，並沒有能達到他想使微積分代數化、嚴密化的目的。不過，他用冪級數表示函數的處理方法對分析學的發展產生了影響，成為實變函數論的起點。
拉格朗日也是分析力學的創立者。拉格朗日在其名著《分析力學》中，在總結曆史上各種力學基本原理的基礎上，發展達朗貝爾、歐拉等人研究成果，引入了勢和等勢麵的概念，進一步把數學分析應用於質點和剛體力學，提出了運用於靜力學和動力學的普遍方程，引進廣義坐標的概念，建立了拉格朗日方程，把力學體係的運動方程從以力為基本概念的牛頓形式，改變為以能量為基本概念的分析力學形式，奠定了分析力學的基礎，為把力學理論推廣應用到物理學其他領域開辟了道路。
拉格朗日力學
他還給出剛體在重力作用下，繞旋轉對稱軸上的定點轉動(拉格朗日陀螺)的歐拉動力學方程的解，對三體問題的求解方法有重要貢獻，解決了限製性三體運動的定型問題。拉格朗日對流體運動的理論也有重要貢獻，提出了描述流體運動的拉格朗日方法。
拉格朗日的研究工作中，約有一半同天體力學有關。他用自己在分析力學中的原理和公式，建立起各類天體的運動方程。在天體運動方程的解法中，拉格朗日發現了三體問題運動方程的五個特解，即拉格朗日平動解。此外，他還研究了彗星和小行星的攝動問題，提出了彗星起源假說等。
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近百餘年來，數學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源於拉格朗日的工作。所以他在數學史上被認為是對分析數學的發展產生全麵影響的數學家之一。被譽為\"歐洲最大的數學家\"。
坐標
在矢量力學中，約束的存在體現於作用於係統的約束力。約束力引入額外
拉格朗日力學
的未知量，通常使問題變得更為複雜。但若能選取適當的s個完全滿足約束條件的獨立坐標，則約束不再出現在問題中，隻需要求解關於s個未知變量的方程，使問題得以大大簡化。這樣的s個坐標不再局限於各質點的位置坐標，而可以是任何能描述係統的幾何參量，因此稱為\"廣義坐標\"。
假設
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展擴
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