【第22章 這道題，陷阱埋得很深啊】
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林言不僅做完了所有的客觀題，而且正在對付最後一道壓軸的解答題！
最離譜的是。
老李掃了一眼林言前麵填空題的答案，全對！
甚至連第十二題那種需要用到特征方程來求遞推數列的超綱偏題，林言給出的答案都分毫不差！
“這小子……”
老李倒吸了一口涼氣，強忍著揉眼睛的衝動。
他死死地盯著林言正在寫解答大題的筆尖。
解答題第二題，也就是整張卷子的壓軸題。
【已知數列 aₙ 的前 n 項和為 Sₙ，且滿足 Sₙ = 2aₙ − n。】
【(1) 求數列 aₙ 的通項公式。】
【(2) 設 bₙ = n/aₙ，求數列 {bₙ} 的前 n 項和 Tₙ，並證明 Tₙ ＜ 2。】
這道題，是老李昨晚熬夜從市一中的摸底卷裡“借”過來的。
第一問是常規的 a_n 與 S_n 的關係轉換。
但第二問，卻是一個非常凶險的數列不等式放縮與求和的複合題。
放在二中，這道題絕對是用來防滿分，拉開學霸和普通學生差距的“利器”。
老李屏住呼吸，看著林言如何破局。
林言沉吟片刻。
第一問，白給的。
他提筆在答題區域寫下標準的解題格式：
解 (1)：
當 n=1 時，S₁ = a₁ = 2a₁ − 1，解得 a₁ = 1。
當 n ≥ 2 時，aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
代入已知條件 Sₙ = 2aₙ − n，得：
aₙ = (2aₙ − n) − (2aₙ₋₁ − (n−1))。
化簡，得：
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aₙ = 2aₙ₋₁ + 1
到了這一步，很多人就會直接套用待定係數法。
但林言沒有這麼做。
“兩邊同時加1，構造等比數列。”
林言的筆尖沒有絲毫停頓：
aₙ + 1 = 2(aₙ₋₁ + 1)
所以，數列 {aₙ + 1} 是以 a₁ + 1 = 2 為首項，2為公比的等比數列。
aₙ + 1 = 2 × 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ
通項公式：aₙ = 2ⁿ − 1
老李在背後看著這一氣嗬成的推導，滿意地連連點頭。
這第一問的邏輯非常清晰，步驟嚴謹，一點毛病都挑不出來。
但這隻是開胃菜，真正的硬骨頭是第二問。
林言的目光落在第二問上。
bₙ = n/aₙ =n/(2ⁿ − 1)
要求前 n 項和 Tₙ，並且證明 Tₙ ＜ 2。
“這東西，分母帶個減1，直接求和是不可能的。”
林言腦海中立刻排除了錯位相減法。
錯位相減隻適用於等差乘等比的模型，比如 n/2ⁿ。
但現在分母多了一個“-1”，直接破壞了錯位相減的代數結構。
“既然不能直接求和，題目又要求證明不等式，那就是放縮法。”
林言微微眯起眼睛。
對於普通學生來說，放縮法就像是一門玄學。
放大了證明不出來，放小了又達不到題目的要求。
如何精準地把握放縮的“度”，是數學最難的部分。
他看著分母上的 2ⁿ - 1。
“要把減1去掉，才能進行錯位相減或者裂項。”
“但是直接把 2ⁿ - 1 放大成 2ⁿ⁻¹，嗯......
雖然可以錯位相減，但放縮的跨度太大了，
最後求出來的極限肯定大於2，證不出結果。”
他的思維在不停跳躍。
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