1) ＜ n/(2ⁿ - (1/2)2ⁿ) = n/2ⁿ⁻¹
所以 Tₙ = b₁ + b₂ + ∑_{k=3}^n bₖ ＜ 1 + 2/3 + ∑_{k=3}^n k/2ᵏ⁻¹
而 ∑_{k=3}^n k/2ᵏ⁻¹ 可以通過錯位相減求出。
設 S = 3/2² + 4/2³ + ... + n/2ⁿ⁻¹
(1/2)S = 3/2³ + 4/2⁴ + ... + n/2ⁿ
(1/2)S = 3/4 + 1/2³ + ... + 1/2ⁿ⁻¹ - n/2ⁿ
= 3/4 + [(1/8)(1 - (1/2)ⁿ⁻³)]/(1 - 1/2) - n/2ⁿ
= 3/4 + 1/4 - 1/2ⁿ⁻¹ - n/2ⁿ = 1 - (n+2)/2ⁿ
所以 S = 2 - (n+2)/2ⁿ⁻¹
所以 ∑_{k=3}^n k/2ᵏ⁻¹ ＜ 2
那麼 Tₙ ＜ 1 + 2/3 + 2 = 3.67。
還是不夠精細！
“那就直接從 n=2 強行拆項！”
林言眼神一厲。
他發現了這道題最無解的也是最完美的放縮：
當 n ≥ 2 時，
bₙ = n/(2ⁿ - 1) ＜ (n+1)/2ⁿ（不成立），而是
bₙ = n/(2ⁿ - 1) ＜ 1/2ⁿ⁻² (對於 n ≥ 4 成立！)
證明：
當 n=4 時，4/15 ＜ 1/4 (不成立，4/15 ＞ 4/16)
當 n=5 時，5/31 ＜ 1/8 (不成立)
林言手腕一抖，將卷麵翻過來。
“不跟你繞圈子了，直接上絕殺：數學歸納法加放縮！”
他迅速在卷子上寫下：
我們要證明：Tₙ ＜ 2。
觀察到 b₁ = 1， b₂ = 2/3， b₃ = 3/7， b₄ = 4/15
T₁ = 1
T₂ = 5/3 ≈ 1.667
T₃ = 5/3 + 3/7 = 44/21 ＞ 2 ！！！
寫到這裡，林言的筆尖猛地一頓。
他緊盯著 T₃ = 44/21
44/21 ≈ 2.095
“臥槽！”
林言在心裡爆了一句粗口。
“這題目印錯了！！！”
站在背後的老李看到這裡，原本緊繃的臉瞬間僵住了。
隨後臉上浮現出一抹尷尬而又震驚的神色。
這道題確實印錯了！
原題是市一中月考卷子上的一道錯題。
原本的條件是 Sₙ = 2aₙ - 2（從而通項是 aₙ = 2ⁿ）。
老李在排版的時候手滑，把常數“-2”敲成了“-n”。
就這一個字符的錯誤，直接導致了第二問的結論 Tₙ ＜ 2 根本不成立！
老李本意隻是想拿這道題來挫挫學生們的銳氣，反正沒人能做出來，等講評的時候他再順水推舟說出原題。
但他萬萬沒想到。
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