【第23章 這道題印錯了吧？！】
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當 n ≥ 2 時，bₙ = n/(2ⁿ - 1)。
我們可以構造：
n/(2ⁿ - 1) ＜ (n+1)/2ⁿ 嗎？
如果 n · 2ⁿ ＜ (n+1)(2ⁿ - 1)
n · 2ⁿ ＜ n · 2ⁿ + 2ⁿ - n - 1
0 ＜ 2ⁿ - n - 1。
對於 n ≥ 2，顯然 2ⁿ ＞ n+1 成立！
林言眼睛猛地一亮。
漂亮！一股成就感自然而言的湧上心頭。
他迅速在答卷上寫下最後的證明過程：
證明：
當 n=1 時，T₁ = 1 ＜ 2，命題成立。
當 n ≥ 2 時，
由於 2ⁿ ＞ n+1 （可通過數學歸納法輕易證明），
所以 n · 2ⁿ ＜ (n+1) · 2ⁿ - (n+1)
即 n · 2ⁿ ＜ (n+1)(2ⁿ - 1)
整理可得：
n/(2ⁿ - 1) ＜ (n+1)/2ⁿ
所以，當 n ≥ 2 時，bₙ ＜ (n+1)/2ⁿ
然而，直接對 (n+1)/2ⁿ 求和依舊麻煩。
林言繼續寫道：
我們考慮進一步裂項：
我們要尋找形如 bₙ ＜ cₙ₋₁ - cₙ 的結構。
設 cₙ = (A · n + B) / 2ⁿ
cₙ₋₁ - cₙ = (A(n-1)+B)/2ⁿ⁻¹ - (An+B)/2ⁿ = (2An - 2A + 2B - An - B)/2ⁿ = (An + B - 2A)/2ⁿ
令 An + B - 2A = n+2
則 A = 1，B - 2 = 2，即 B = 4。
所以，cₙ = (n+4)/2ⁿ。
因此，(n+2)/2ⁿ = (n+3)/2ⁿ⁻¹ - (n+4)/2ⁿ
這雖然正確，但為了直接放縮 bₙ = n/(2ⁿ - 1)。
林言直接運用了一個巧妙的代數變形：
他發現：
bₙ = n/(2ⁿ - 1) ＜ (n+2)/2ⁿ = (n+3)/2ⁿ⁻¹ - (n+4)/2ⁿ
檢驗：n/(2ⁿ - 1) ＜ (n+2)/2ⁿ 嗎？
n · 2ⁿ ＜ (n+2)(2ⁿ - 1) = n · 2ⁿ + 2 · 2ⁿ - n - 2
0 ＜ 2 · 2ⁿ - n - 2，對於 n ≥ 2 顯然成立！
完美！
林言毫不猶豫地在答題卡上寫下：
當 n ≥ 2 時，因為 2 · 2ⁿ ＞ n+2，
所以 n · 2ⁿ ＜ (n+2)(2ⁿ - 1)
即 n/(2ⁿ - 1) ＜ (n+2)/2ⁿ
而 (n+2)/2ⁿ = (n+1)/2ⁿ⁻¹ - (n+2)/2ⁿ（這一步化簡有誤，重新調整係數）
林言腦海中迅速自我糾錯：
(A(n-1)+B)/2ⁿ⁻¹ - (An+B)/2ⁿ = (An + B - 2A)/2ⁿ
我要構造出大於 n/(2ⁿ - 1) 的裂項。
令 An + B - 2A = n+2 ，解得 A=1， B=4。
所以 (n+2)/2ⁿ = (n+3)/2ⁿ⁻¹ - (n+4)/2ⁿ。
那麼 n/(2ⁿ - 1) ＜ (n+2)/2ⁿ = (n+3)/2ⁿ⁻¹ - (n+4)/2ⁿ。
累加：
Tₙ = b₁ + b₂ + b₃ + ... + bₙ
＜ 1 + (5/2¹ - 6/2²) + (6/2² - 7/2³) + ... + ((n+3)/2ⁿ⁻¹ - (n+4)/2ⁿ)
= 1 + 5/2 - (n+4)/2ⁿ = 3.5 - (n+4)/2ⁿ。
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4/3 ＜ 3/2 = ₂b
2/1 ＜ 7/3 = ₃b
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