數學
最終確立是由法國數學家韋達完成的。他的《分析術入門》被西方數
歐拉
學史家推崇為第一部符號代數學。在本書中，他自覺地、係統地運用字母代替數字，用輔音字母表示已知數，用元音字母表示未知數。韋達還明確指出代數與算術的區別，前者是\"類的算術\"（施行於事物的類和形式的運算），後者是\"數的算術\"。於是代數學更帶有普遍性，形式更抽象，應用更廣泛。在稍後的工作裡，韋達改進了三次、四次方程的解法。他還對n二2，3的情形，建立了方程的根與係數之間的關係，即現在被稱為韋達定理的結果。後來笛卡兒改進了韋達創造的符號係統，用a，b，c，…表示已知量，x，y，z，…表示未知量。當代所使用的大多數代數符號到17世紀中葉已基本確立。
17－18世紀中期，代數學被理解為在代數符號上進行計算的科學，用來研究與解方程有關的問題。這個時期最好的教科書之一是歐拉的《代數學入門》（1770），其內容包括整數、分數和小數、方根、對數、一次到四次代數方程、級數、牛頓二項式和丟番圖分析等，是對16世紀中期發展起來的符號代數學的係統總結。
18世紀對代數學的研究時常要服從分析學的需要，許多人甚至把分析看作
法國數學家拉格朗日
代數的延伸。其實這一時期代數學的發展為19世紀的革命性變化奠定了基礎。高斯研究了複數及其運算的幾何表示，給出代數基本定理的第一個證明（1799）。法國數學家拉格朗日、旺德蒙德和意大利數學家魯菲尼等研究五次以上代數方程的解法，發現根的有理函數與根置換對方程性質的深刻影響，開始認識到五次以上的代數方程用根式求解的不可能性。
在19世紀，代數學發生了革命性的變革。首先是挪威數學家阿貝爾證明了（1824－1826）五次以上的一般代數方程不可能用根式求解，並實質上引進了域和在給定域中不可約多項式這兩個概念。緊接著（1832），法國數學家伽羅瓦對於高次方程是否能用根式求解問題給出更徹底的解答。他引進了置換群的正規子群、數域的擴域、群的同構等概念，證明了由方程的根的某些置換所構成的群（即伽羅瓦群）的可解性是方程根式可解的充分必要條件。伽羅瓦的工作並沒有立即為人們所了解和接受，直到1870年才由法國數學家若爾當在他的著作《置換與代數方程》中給出第一個全麵而清晰的闡述，他還補充了自己的新成果，這部著作大大地推進了置換群論的研究。
代數通論
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幾乎與伽羅瓦的工作同時，英國數學家皮科克發表了他的《代數通論》（1
數學家伽羅瓦
830），其中對代數運算基本法則進行研究，試圖建立一門更一般的代數，它僅是符號及其滿足的某些運算法則的科學。英國數學家德·摩根和布爾在這方麵也做出了重要嘗試。這些工作預示了抽象代數學的產生。
另一項引起代數學變革的工作來自英國數學家哈密頓和德國數學家格拉斯曼，前者在1843年構造出第一個不滿足乘法交換律的數學對象--四元數，後者則在1844年獨立地得到更一般的具有n個分量的超複數理論。
在數論方麵，由於對費馬大定理的研究，德國數學家庫默爾引進了\"理想數\"概念（1845－1847），在此基礎上，戴德金發展了理想理論。這項工作不僅對代數數論的發展有著重要影響，而且開辟了抽象代數發展的道路。
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