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"": "他試圖尋找五次方程的預解函數，希望這個函數是低於五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊含著置換群概念，對後來阿貝爾和伽羅華起到啟發性作用，最終解決了高於四次的一般方程為何不能用代數方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅。
置換群：
簡介
置換群 - 正文 由置換組成的群。n 元集合到它自身的一個一一映射，稱為Ω上的一個置換或 n元置換。Ω上的置換o可表為
或簡記為,
其中i1,i2,…,in是1，2，…,n的一個排列，aik是 ak在置換o下的像。有時也把a 在o下的像記為ao。根據映射的乘法可以定義Ω上任意兩個置換o與τ的乘積oτ為
公式
。對於這樣定義的運算，Ω上全體置換所組成的集合Sw成一個群，稱為Ω上的對稱群或n元對稱群，簡稱對稱群，其階為 n!。對稱群的子群稱為Ω上的置換群或簡稱置換群。當Ω＝{1,2,…,n}時把Sw 記為Sn。較置換群更為一般的概念，有所謂的作用。
作用
G是一個群，Ω是一個非空集合。G中每個元素g都對應Ω的一個映射：x→xg，x∈Ω，若滿足：
公式
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；xe=x（e是G的單位元素），則稱G作用於Ω上。G作用於Ω上的充分必要條件是，G同態於Ω上的一個置換群。
設G是Ω上的一個置換群，H是Γ上的一個置換群。如果存在Ω到Γ上的一個一一對應ρ，以及G到H上的一個一一對應φ,使得對Ω中任一個點a及G中任一個置換g都有
公式
,那麼G與H 稱為置換同構的。兩個置換同構的置換群一定是同構的。但是同構的置換群不一定是置換同構的。
如果 Ω與Γ都是n元集合，那麼Sw與Sг是置換同構的。因此，n元對稱群都與Sn置換同構。
設o是Ω上一個置換,若Ω中一些點a1,a2,…,as使得
公式
而o保持Ω中其餘的點不動，那麼o稱為一個輪換，記作(a1,a2,…,as)。若兩個輪換沒有公共的變動點，則稱這兩個輪換是不相交的。每一個置換都可表為不相交輪換的乘積，稱為置換的輪換表示法，而且除表示式中輪換的次序以外，置換的輪換表示法是唯一的。
兩個點的輪換稱為對換
任一置換都可表為一些對換的乘積,表示法不是唯一的,但是表示式中對換個數的奇偶是唯一確定的。若o可表成偶數個對換的乘積,則稱o為偶置換。若o可表成奇數個對換的乘積,則稱o為奇置換。
Sw中全部偶置換組成Sw的一個正規子群，稱為n元交錯群,簡稱交錯群,記作Aw。Sn的交錯子群記作An。n元交錯群都與An置換同構。當n≥2時,An的階為n!\/2。當n=4時，An是單群，這是一類很重要的有限單群。
置換群是有限群的一類重要例子，有限群的研究是從置換群開始的。置換群的重要性還在於下述事實。
凱萊定理
任一有限群都與其元素的一個置換群同構。
區及軌道 設G是Ω上一個置換群,墹是Ω的一個子集，g是G中任一元素,用墹g表示墹在g下的像集
公式
。若對於G中任一元素 g都有墹g=墹，或
公式
，則稱墹是一個區。空集═以及Ω都是區,稱為平凡區。其餘的區稱為非平凡區。兩個區的交仍是區。
若對G中任一元素g，都有墹g=墹，則稱 墹是G的一個不變區。Ω及═都是不變區。不變區的交仍是不變區。
設墹是G的一個不變區，如果對墹中任意兩個點a、β都有G中一個元素g使得ag=β，那麼墹稱為G 的一個軌道（或傳遞集）。如果墹是G 的一個軌道，那麼，任取墹中一個點a，都有
公式
。而且，G 的任一個軌道都可這樣得到。如果墹及Γ是G 的兩個軌道，那麼墹=Г 或墹∩Г＝═。因此,Ω分成G 的一些兩兩不交的軌道之並。軌道中元素的個數稱為軌道的長度。
群子定穩
a點個一中Ω定取。上Ω於用作，群換置元n個一是G設
式公
果如。群子定穩的 a對 G為稱,群子個一的 G是,
式公
設並，
式公
麼那，)1g為作換置等恒取常通(
式公
。階的 G除整能定一度長的道軌的 G以所，｜Ga｜｜aG｜=|G|,此因。
。｜G｜於等都長道軌一任的G，時此。群則正半是G稱則，}e{=aG有都，Ω∈a一任對果如
。有然顯。群子定穩的ka,…,2a,1a對G為稱,群子個一的G是則,ka,…,2a,1a點個k中Ω定取。形情的點個多到廣推以可還念概的群子定穩
性遞傳
。群則正半的遞傳是就群則正。群則正個一是G稱則,｜G｜=｜Ω｜且，群遞傳是G若。子因個一的｜G｜是｜Ω｜則,群遞傳是G若，此因。道軌個一的G 是Ω當僅且當群遞傳是G。的遞傳非是G稱，則否；的遞傳是上Ω在G稱則,β=ga得使,G∈g到找可都，Ω∈β,a意任對若。群換置個一上Ω是G設
。群子征特個一的 G是R，R群則正個一成構起一換置等恒與換置的字文變不有沒,中G群斯烏尼貝羅弗在。群斯烏尼貝羅弗為稱 G則，變不字文個一持保多最素元位單非個每,中G群遞傳則正非個一在若
使g換置個一中G有都,kβ,…,2β,1β及ka,…,2a，1a組點序有元k個兩意任中Ω於對若
式公
，時此。群遞傳重k 確精個一是G稱則,)1+k-n(…)1-n(n於等恰階的 G若。除整)1+k-n(…)1-n(n被可階的 G群換置元n的遞傳重k。的遞傳重k是G,時群遞傳重)1-K(上}a{-Ω在aG當僅且當麼那,群遞傳個一上Ω是G果如。群遞傳單為稱則否，群遞傳重多為稱群遞傳重k麼那，2≥k果如。的遞傳重)1-k(是定一群遞傳重k。群遞傳k 或群遞傳重k 個一是G稱則，
