了關鍵的貢獻，應該把獎頒給這位數學家。這位獲勝者就是法國數學家，物理學家龐加萊(Jules Henri P·incare)。
【𝗼𝗼𝗽.𝘁𝘄 無錯章節】
龐加萊在現代數學曆史上占有舉足輕重的地位，他曾被稱為現代數學的兩個奠基人之一(另一個是黎曼(Bernhard Riemann))，也有人稱他為曆史上精通當時所有數學的最後兩個人之一(另一個就是希爾伯特))。而1885年的龐加萊隻有31歲，雖然已初露鋒芒，但還是一位希望能夠一舉成名的年輕數學家，所以這次比賽是個大好的機會，這也迫使他先放下手上其他的工作，集中精力投入到天體力學和N體問題的研究中。龐加萊獲獎的論文\"關於三體問題的動態方程\"(Sur le pr·bleme des tr·is c·rps et les equati·ns de la dynamique) 最後在1890年在Acta Mathematica上發表，論文長達270頁，占了整整半卷雜誌。(關於論文發表的一段故事下麵還要提到)。 這篇重要論文使原來就已有不小名氣的年輕龐加萊更加譽滿整個歐洲數學界，也使他得到了新的熱情和動力繼續進行他在這篇論文中開始的工作。從1892年到1899年，龐加萊陸續出版了他的三大卷宏偉巨著\"天體力學的新方法\"(Les Meth·dsN·uvelles de la Mecanique Celeste)。他的獲獎論文和這三卷書可以說奠定了現代天體力學，動力係統，微分方程定性理論，甚至混沌理論的基礎，儘管大多數他的思想直到幾十年後才被廣大的數學工作者所領悟進而發展成現代的數學理論。
下麵我們就來簡單看一看龐加萊在這一時期的工作究竟給N體問題的解決帶來了什麼進展。
第一，龐加萊證明了對於N體問題在N大於二時，不存在統一的第一積分(unif·rm first integral)。 也就是說即使是一般的三體問題，也不可能通過發現各種不變量最終降低問題的自由度， 把問題化簡成更簡單可以解出來的問題，這打破了當時很多人希望找到三體問題一般的顯式解的幻想。在一百年後學習微分方程課的人大多在第二個星期就從老師那裡知道絕大多數微分方程是沒法找到定量的解的，但一般都能從定性理論中了解更多解的性質，甚至可以通過計算機\"看到\"解的形狀行為。而在龐加萊的年代，大多數數學家更熱衷於用代數或冪函數方法找到解，使用定性方法和幾何方法來討論微分方程就是起源於龐加萊對於N體問題的研究，這徹底改變人們研究微分方程的基本想法。
第二，為了研究N體問題，龐加萊發明了許多全新的數學工具。例如他完整地提出了不變積分(invariant integrals) 的概念，並且使用它證明了著名的回歸定理(recurrence the·rem)。另一個例子是他為了研究周期解的行為，引進了第一回歸映象(first return map)的概念，在後來的動力係統理論中被稱為龐加萊映象。還有象特征指數(characteristic exp·ntents)，解對參數的連續依賴性(c·ntinu·us dependence ·f s·luti·ns with respect t· parameters)等等。所有這些都成為了現代微分方程和動力係統理論中的基本概念。
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