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"": "語言定義
設給定二元函數z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點，先做拉格朗日函數L(x,y)=?(x,y)+λφ(x,y)，其中λ為參數。求L(x,y)對x和y的一階偏導數，令它們等於零，並與附加條件聯立，即
L＇x(x,y)=?＇x(x,y)+λφ＇x(x,y)=0，
L＇y(x,y)=?＇y(x,y)+λφ＇y(x,y)=0，
φ(x,y)=0
由上述方程組解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點。
用\"拉格朗日乘數法\"求極值
求函數f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下的極值
方法（步驟）是：
1.做拉格朗日函數L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ稱拉格朗日乘數
2.求L分別對x,y,z,λ求偏導,得方程組,求出駐點P(x,y,z)
如果這個實際問題的最大或最小值存在,一般說來駐點唯一,於是最值 可求.
條件極值問題也可以化為無條件極值求解,但有些條件關係比較複雜,代換和運算很繁,而相對來說,\"拉格朗日乘數法\"不需代換,運算簡單一點.這就是優勢.
條件φ(x,y,z)一定是個等式，不妨設為φ(x,y,z)=m
則再建一個函數g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m
g(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)
在許多極值問題中，函數的自變量往往要受到一些條件的限製，比如，要設計一個容積為 V的長方體形開口水箱，確定長、寬和高, 使水箱的表麵積最小. 設水箱的長、寬、高分別為 x,y,z， 則水箱容積V=xyz
焊製水箱用去的鋼板麵積為 S=2xz+2yz+xy
這實際上是求函數 S 在 V 限製下的最小值問題。
這類附有條件限製的極值問題稱為條件極值問題，其一般形式是在條件
限製下，求函數F的極值
條件極值與無條件極值的區別
條件極值是限製在一個子流形上的極值，條件極值存在時無條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求馬鞍麵 z=x.^2-y.^2+1 被平麵X·Z 平麵所截的曲線上的最低點。
從其幾何圖形可以看出整個馬鞍麵沒有極值點，但限製在馬鞍麵被平麵 平麵所截的曲線上，有極小值 1，這個極小值就稱為條件極值。
條件極值點的必要條件
設在約束條件 之下求函數 的極值。滿足約束條件的點 是函數 的條件極值點 , 且在該點函數 滿足隱函數存在條件時, 由方程 定隱函數 , 於是點就是一元函數 的極限點, 有
代入 , 就有
( 以下 、 、 、 均表示相應偏導數在點 的值 . )
即 - , 亦即 ( , ) , ) .
可見向量( , )與向量 , )正交. 注意到向量 , )也與向量 , )正交, 即得向量( , )與向量 , )線性相關, 即存在實數 , 使
( , ) + , ) .
亦即
Lagrange乘數法 :
由上述討論可見 , 函數 在約束條件 之下的條件極值點應是方程組
的解.
引進所謂Lagrange函數
, ( 稱其中的實數 為Lagrange乘數 )
則上述方程組即為方程組
因此，解決條件極值通常有兩種方法
1）直接的方法是從方程組（１）中解出 並將其表示為 代入 消去 成為變量為 的函數將問題化為函數 的無條件極值問題；
2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出 來是困難的，甚至是不可能的，因此上麵求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數法，是免去解方程組（1）的困難，將求 的條件極值問題化為求下麵拉格朗日函數的穩定點問題，然後根據所討論的實際問題的特性判斷出哪些穩定點是所求的極值的。
解應用問題舉例
例1
拋物麵 被平麵 截成一個橢圓. 求該橢圓到坐標
原點的最長和最短距離.
例3求函數 在條件
下的極小值. 並證明不等式 , 其中 為任意正常數 .
程過的值極件條解求法數乘日朗格拉看一看，例為計設箱水麵上以就在現
數函求是質實的題問個這 ：解
令，法乘日朗格拉用應 ，題問值小最的下件條在
;')V-z*y*x(*v+y*x+)z*y+z*x(*2'=L
)'x',L(ffid=xdLd
)'y',L(ffid=ydLd
)'z',L(ffid=zdLd
)'v',L(ffid=vdLd
z*y*v+y+z*2= xdLd
𝑤𝑡.𝑝𝑜𝑜於源來節章本
z*x*v+x+z*2= ydLd
y*x*v+y*2+x*2= zdLd
V-z*y*x= vdLd
點定穩求組程方解，零等導偏各的 Ｌ 令
;'z*y*v+y+z*2'=1s
;'z*x*v+x+z*2'=2s
;'y*x*v+y*2+x*2'=3s
;'V-z*y*x'=4s
)4s,3s,2s,1s(evl·s=]0z,0y,0x,v[
= v
])3/\1(^V/\)3/\2(^2*2- [
]V/\2^))3/\1(^V*)3/\1(^2*)2/\1(^3*i*4/\1+)3/\1(^V*)3/\1(^2*4/\1-(*8- [
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