【第2節 混合策略不是瞎出牌】
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數學家約翰·馮·諾伊曼創立了“最小最大定理”。在這一定理中，諾伊曼指出，在二人零和博弈中，參與者的利益嚴格相反（一人所得等於另一人所失），每個參與者都會儘最大努力使對手的最大收益最小化，而他的對手則正相反，他們努力使自己的最小收益最大化。在兩個選手的利益嚴格對立的所有博弈中，都有這樣一個共同點。
諾伊曼這一理論的提出與警察與小偷博弈有很大的關係。在警察與小偷博弈中，如果從警察和小偷的不同角度計算最佳混合策略，那麼得到的結果將是，他們有同樣的成功概率。換句話說就是，警察如果采取自己的最佳混合策略，就能成功地限製小偷，使小偷的成功概率與他采用自己的最佳混合策略所能達到的成功概率相同。他們這樣做的結果是，最大收益的最小值（最小最大收益）與最小收益的最大值（最大最小收益）完全相等。雙方改善自己的收益成為空談，因此這些策略使得這個博弈達到一個均衡。
最小最大定理的證明相當複雜，對於一般人來說，沒有必要花大力氣去深究。但是，它的結論卻非常實用，能夠解決我們日常生活中的很多問題。比如你想知道比賽中一個選手之得或者另一個選手之失，你隻要計算其中一個選手的最佳混合策略就能得出結果了。
在所有混合策略中，每個參與者並不在意自己的任何具體策略，這是所有混合策略的均衡所具有的一個共同點。如果你采取混合策略，就會給對手一種感覺，讓他覺得他的任何策略都無法影響你的下一步行動。這聽上去好似天方夜譚，其實並不是那樣。因為它正好與零和博弈的隨機化動機不謀而合，既要覺察到對方任何有規律的行為，采取相應的行動製約他，同時也要堅持自己的最佳混合策略，避免一切有可能讓對方占便宜的模式。如果你的對手確實傾向於采取某一種特別的行動，那隻說明，他們選擇的策略是最糟糕的一種。
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所以說，無論采取隨機策略，還是采取混合策略，與毫無策略地“瞎出”不能劃等號，因為隨機策略與混合策略都有很強的策略性。但有一點需要特別注意，一定要運用偶然性提防別人發現你的有規則行為，從而使你陷入被動之中。
我們小時候經常玩的“手指配對”遊戲就很好地反映了這個問題。在“手指配對”遊戲中，當裁判員數到三的時候，兩個選手必須同時伸出一個或者兩個手指。假如手指的總數是偶數，那麼伸出兩個手指的人也就是“偶數”的選手贏；假如手指的總數是奇數，那麼伸出一個手指也就是“奇數”的選手贏。
如果在不清楚對方會出什麼的情況下，又該怎樣做才能保證自己不落敗呢？有人回答說：“閉著眼瞎出。”可能很多人會被這樣的回答搞得哈哈大笑，但是，其實笑話別人的人才真正可笑。那個人的話雖然看似好笑，實則很有道理。因為從博弈論的角度看，“閉著眼瞎出”也存在著一種均衡模式。
如果兩位選手伸出幾個手指不是隨機的，那麼這個博弈就沒有均衡點。假如那位“偶數”選手一定出兩個指頭，“奇數”選手就一定會伸出一個指頭。反過來想，既然“偶數”選手確信他的對手一定會出“奇數”，他就會做出改變，改出一個指頭。他這樣做的結果是，那位“奇數”選手也會跟著改變，改出兩個指頭。如此一來，“偶數”選手為了勝利，轉而出兩個指頭。於是就形成了一個循環往複的過程，沒有儘頭。
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